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《周髀算经》:唐初国子监明算科的教材之一

摘要: 《周髀算经》的介绍《周髀算经》原名《周髀》,算经的十书之一,是中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》...

《周髀算经》的介绍

《周髀算经》原名《周髀》,算经的十书之一,是中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。

周髀算经的介绍_周髀算经的勾股之学_周髀算经的主要内容

《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。(据说原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的)及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。)

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法,揭示日月星辰的运行规律,囊括四季更替,气候变化,包涵南北有极,昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障,自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考,在此基础上不断创新和发展。

《周髀算经》的勾股之学

首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”(《周髀算经》上卷二)

而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一——

昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”

周公对古代伏羲(庖牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升,地不可得尺寸而度),就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例,解释数学知识的由来。

周髀算经的介绍_周髀算经的勾股之学_周髀算经的主要内容

“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”解释发展脉络——数之法出于圆(圆周率三)方(四方),圆出于方(圆形面积=外接正方形面积*圆周率/4),方出于矩(正方形源自两边相等的矩),矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。

“故折矩①,以为勾广三,股修四,径隅五。”开始做图——选择一个勾三(圆周率三)、股四(四方)的矩,矩的两条边终点的连线应为5(径隅五)。

“②既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。”这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形(勾方、股方),根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺,实际上用作直角三角形),将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。

“两矩共长③二十有五,是谓积矩。”此为验算——勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半,可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积,所以勾方+股方=弦方。

注意:①矩,又称曲尺,L型的木匠工具,由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺,“矩形”才是“矩”衍生的长方形。

②“既方之,外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”,而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究,“既方之,外半其一矩”更符合逻辑。

③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较,并没有发明新的术语,而统称“长”。赵爽注称:“两矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。

周髀算经的介绍_周髀算经的勾股之学_周髀算经的主要内容

由于年代久远,周公弦图失传,传世版本只印了赵爽弦图(造纸术在汉代才发明)。所以某些学者误以为商高没有证明(只是说了一段莫名其妙的话),后来赵爽才给出证明。

其实不然,摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《勾股圆方图》——“句股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实。”

注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”,“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明,于是他给出了新的证明。详细分析请参阅曲安京《商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明》。

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